Formule générale du coût d'une source lumineuse

Détermination de la formule

L'article présent ci-dessous possède un développement nécessairement calculatoire. Un fichier Excel a été réalisé pour mettre en pratique ces calculs.

Introduction

Nous allons établir une formule qui déterminera le coût de l'éclairage de plusieurs sources lumineuses :

L'objectif de cette formule est d'exprimer le coût d'une source, C(t), en fonction de

Détermination de la formule

Nous allons démontrer la formule en nous appuyant sur la décomposition de C(t) en deux composantes : Cs(t) et Ce(t)

Cs(t) : Coût inhérent à l'achat de la source lumineuse
Ce(t) : Coût inhérent à la consommation électrique de la source lumineuse

On a

Avec .On prend l'entier précédent à la quantité "T/d × a" car si elle vaut un chiffre non entier (appelons le x), le nombre de sources lumineuses requises est la partie entière de x plus 1.
Prenons un exemple : On a besoin d'un éclairage par led pendant 130 000 heures. Sachant qu'une led a une durée de vie d=100 000 heures, il en faudra (théoriquement): 130 000 / 100 000 = 1,3. Or une led ne se coupe pas. Il faudra donc en acheter 2.
C'est justement cela que rend le calcul :

Pour ceux qui sont habitués à la notation partie_entière() notée aussi (Cf les symboles mathématiques) vous pouvez écrire :

Et

D'où avec

On appelle cette formule "générale" car aucune valeur n'est fixée. Elle a 6 degrés de liberté (t, d ,a ,e ,Φ et ρ). A noter que P s'exprime en fonction de Φ et de ρ.
Représentation graphique : la fonction C(t) est affine par morceaux

Il est là aussi intéressant de décomposer C(t) en Cs(t) + Ce(t)

En effet, Cs(t) est une fonction en escalier de périodicité d et de hauteur de marche a.
Ce(t) est une fonction affine d'ordonnée à l'origine nulle de coefficient directeur e ×ρ/Φ.

La composante du coût due à l'électricité est donc proportionnelle au temps alors que la composante due au coût d'achat de la source est ponctuel et périodique.

Si on souhaite aller plus loin, on peut intégrer dans le prix du kilowattheure la notion de temps. Cette complication n'est pas du purisme car les prix peuvent fluctuer de manière non négligeable : l'environnement international évolue vite dans le domaine énergétique.
Un exemple : l'énergie nucléaire était fortement critiquée au début des années 2000 alors que depuis la guerre en Irak et ses conséquences peu sont contre.
Il suffit de remplacer e(t) par définie par
Avec e(0) le prix du kilowattheure à la date où l'installation a commencé à fonctionner.

La dernière composante (couts d'installation et de maintenance) n'est pas chiffrable de manière générique donc nous ne le prendront pas e n compte. En règle générale sa valeur permet de ne pas fausser les calculs ci-dessous. Si c'était le cas, il faudrait les prendre en compte en adaptant la théorie présentée ci-dessous en remplaçant a par a' qui est le coût d'achat généralisé.
a'=a+coût d'installation+coût de la maintenance.  la valeur de a'-a peut, parfois, avoir une valeur loin d'être négligeable. par exemple le changement des lampes de la Tout Eiffel !
Si on veut perfectionner le modèle il faut considérer les maintenance périodique. Les opérations de maintenance, introduisent une nouvelle composant dans Cs(t). Et peut avoir pour expression entier_suivant(t / d_m)×a_m où d_m est la durée moyenne entre deux interventions et a_m  le coût de cette dernière. Mais étant donné que dm est généralement un multiple de d, on peut prendre intégralement en compte les opérations de maintenance dans a.

Coûts d'une lampe fluocompacte (application directe de la théorie ci-dessus)
Théorie générale sur les coûts d'une source lumineuse
Economies grâce aux LEDs

Mis à jour le 07/07/2007 par Benjamin MONTEIL